Circunferencia

CIRCUNFERENCIA 

Distíngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia, o sea, la circunferencia es el perímetro del círculo. Los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio del centro del círculo, mientras los demás puntos del círculo están a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador1

Terminología de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: 

Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. 

Radio: Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud del segmento del mismo nombre. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π. 

Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia que pasa por el centro de esta. El diámetro también es la longitud del segmento del mismo nombre. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π. 

Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima. 

Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos. 

Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un solo punto. 

Punto de Tangencia: es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia. 

Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco. 

Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro. 

Resultados analíticos[editar]

Longitud de la circunferencia[editar]

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.7 La longitud {\displaystyle \ell } de una circunferencia es:

{\displaystyle \ell =2\pi r=\pi d}

donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues {\displaystyle \pi \,} (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

{\displaystyle \pi ={\frac {\ell }{d}}={\frac {\ell }{2r}}}

Área del círculo delimitado por una circunferencia[editar]

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de sus catetos la longitud {\displaystyle \ell } de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:{\displaystyle {\text{Área}}={\frac {1}{2}}\ell r=\pi r^{2}}

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,}.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:{\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\,}

resultando:{\displaystyle a=-{\frac {D}{2}}}{\displaystyle b=-{\frac {E}{2}}}{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}-F}}}

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\,}, la ecuación de la circunferencia es:{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.\,}

Ecuación vectorial de la circunferencia

En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:{\displaystyle \mathbf {r} (\theta )=(R\cos(\theta ),R\operatorname {sen}(\theta ))\,},

donde {\displaystyle \theta \,} es el parámetro de la curva, además cabe destacar que {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.

De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2) y r un real positivo, la ecuación vectorial{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r}

representa una circunferencia de centro c y radio r.8 La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polares[editar]