Triángulo

TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos.

Un triángulo en geometría plana, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano no colineales. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo1 y los segmentos son los lados del triángulo.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores,2 tres lados y tres vértices entre otros elementos.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Elementos

Triángulo: {\displaystyle ABC} de lados {\displaystyle a,b,c} y de ángulos interiores {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma .}

Vértices[editar]

Cada uno de los puntos que determinan un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: {\displaystyle A,B,C,...}. Si {\displaystyle AB+BC=AC} no existe triángulo que determine {\displaystyle A,B} y {\displaystyle C}.

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Lados

Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No interesa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: {\displaystyle a} para BC, {\displaystyle b} para AC, {\displaystyle c} para AB.

La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por p o 2s; cumple la ecuación {\displaystyle p=2s=AB+BC+CA}

Ángulos

Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior-

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es {\displaystyle {\widehat {POQ}}.\,}

También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:{\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}},\ {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}},\ {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}.\,}

EL ángulo cuyo vértice coincide con uno de los vértices del triángulo y sus lados: son la prolongación de un lado triangular y el otro lado angular contiene a un lado triangular, se llama ángulo externo. En cada vértice triangular hay dos ángulos externos.3

Triángulos — Resumen de convenciones de designaciónVértices {\displaystyle {\text{A}}} {\displaystyle {\text{B}}} {\displaystyle {\text{C}}}

Lados (como segmento) {\displaystyle {\text{BC}}} {\displaystyle {\text{AC}}} {\displaystyle {\text{AB}}}

Lados (como longitud) {\displaystyle a} {\displaystyle b} {\displaystyle c}

Ángulos {\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}}} {\displaystyle {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}}} {\displaystyle {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}}

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o {\displaystyle \pi /3\,} radianes).

Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales4 ).

Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.5

Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.e B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos.Además se cumplen las igualdades

A + 2B = A +2C = 180º;

A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C

{\displaystyle m_{a}=h_{a}=v_{A}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}} donde {\displaystyle m_{a},h_{a},v_{A}} son la mediana, altura del lado a y bisectriz de su ángulo A opuesto.6

Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno