Cono

CONO

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Elementos

Directriz

Es una curva plana, por cuyos puntos pasa una recta que también pasa por un punto fijo.

Generatriz

Es la recta que pasa por el punto fijo y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica.

Base

Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto. Y el círculo respectivo se llama base del cono.

Vértice

Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos.

Altura

Se mide de abajo hacia arriba, en un caso restringido de que un triángulo rectángulo ( como subconjunto bidimensional) gire en torno de uno de sus catetos, y se engendra un cono circular recto. Justamente, el cateto eje se llama, tanto como segmento y cuanto en medida altura del cono.

Cono (sólido geométrico)

Usualmente, se considera un círculo y un punto exterior al plano del círculo. La unión de todos los segmentos de extremo en un punto del círculo y extremo común, el punto exterior, se llama cono, considerado como un sólido geométrico.1 2

Propiedades[editar]

Área de la superficie cónica[editar]

El área {\displaystyle A\,} de la superficie del cono recto es:{\displaystyle A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi ra\,\!}

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: {\displaystyle a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,}.

Desarrollo plano de un cono recto[editar]

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de {\displaystyle a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,}

donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

{\displaystyle \mathrm {{\acute {a}}ngulo} =360(r/a)\,}.

Volumen de un cono[editar]

El volumen {\displaystyle V\,} de un cono de radio {\displaystyle r\,} y altura {\displaystyle h\,} es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:{\displaystyle V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!}

La ecuación se obtiene mediante {\displaystyle \int _{0}^{h}A(x)dx\,\!},

donde {\displaystyle A(x)\,} es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura {\displaystyle h}, en este caso {\displaystyle A(x)=\pi \left({\frac {rx}{h}}\right)^{2}}.

Cono oblicuo[editar]

Secciones de un cono recto y un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.

Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice, siendo perpendicular al plano de la base; pero no es coincidente con el eje del cono.

Superficie y desarrollo[editar]

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

Volumen[editar]

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

{\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}}