Tronco de Cono

TRONCO DE CONO

El tronco de cono , cono truncado o tronco de Garofalo es un cuerpo engendrado por la rotación de un trapecio rectángulo al usar como eje de giro el lado perpendicular a las bases.
Medidas

Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje. Queda determinado por los radios de las bases, {\displaystyle r_{1}\,} y {\displaystyle r_{2}\,}, la altura, {\displaystyle h\,}, y la generatriz, {\displaystyle s\,}, entre las cuales se cumple la relación del teorema de Pitágoras:{\displaystyle s^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}
Áreas[editar]



El área lateral de un tronco de cono se puede hallar mediante la semisuma de los perímetros de las bases, por la generatriz:{\displaystyle A_{L}={\frac {2\pi r_{1}+2\pi r_{2}}{2}}s}{\displaystyle A_{L}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}

El área total de un tronco de cono, la cual es el área lateral más el área de las bases menor y mayor , se puede hallar mediante la fórmula:{\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+A_{L}\,}{\displaystyle A=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}{\displaystyle A=\pi \left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}\right)s]}
Volumen[editar]

El volumen de un tronco de cono se puede hallar utilizando el producto entre la altura del tronco y la media heroniana del área de las bases:{\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(A_{1}+A_{2}+{\sqrt {A_{1}A_{2}}}\right)\,}{\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+{\sqrt {\pi r_{1}^{2}\pi r_{2}^{2}}}\right)\,}{\displaystyle V={\frac {h\pi }{3}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})\,}

Otra manera de ver esto considerar el cono original de altura H y radio r1 al que se le trunca un cono de altura H-h cuya base tendrá radio r2 (ésta base será la tapa superior del tronco de cono):


(1){\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r_{1}^{2}H-{\frac {\pi }{3}}r_{2}^{2}(H-h)}

Dado que el cono original y la parte trucanda comparten el ángulo de semiabertura se tiene las siguientes proporcionalidades:


(2){\displaystyle {\frac {r_{1}}{H}}={\frac {r_{2}}{H-h}}\qquad \Rightarrow \qquad H={\frac {hr_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}

Substituyendo esta última relación en (1) se llega a la fórmula anterior dada para el volumen